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By Dietlinde Lau

Algebra und Diskrete Mathematik gehören zu den wichtigsten mathematischen Grundlagen der Informatik. In diese mathematischen Teilgebiete führt Band 1 des zweibändigen Lehrbuchs umfassend ein. Dabei ermöglichen klar herausgearbeitete Lösungsalgorithmen, viele Beispiele und ausführliche Beweise einen raschen Zugang zum Thema. Die umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben hilft bei der Erarbeitung des Stoffs und zeigt darüber hinaus, welche unterschiedlichen Anwendungsmöglichkeiten es gibt. Die three. Auflage wurde korrigiert und erweitert.

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2) Die Mengen Ai (i ∈ I) m¨ogen eine Zerlegung Z von A bilden. Dann ist die Relation RZ := {(a, b) ∈ A2 | ∃i ∈ I : {a, b} ⊆ Ai } ¨ eine Aquivalenzrelation auf A. ¨ ¨ Besteht die Zerlegung Z speziell aus den Aquivalenzklassen einer Aquivalenzrelation R, so ist RZ = R. Beweis. 1. (2): Wegen A = i∈I Ai ist RZ reflexiv. RZ ist symmetrisch, da {a, b} = {b, a}. RZ ist auch transitiv, da f¨ ur beliebige a, b, c aus A nach den Eigenschaften einer Zerlegung gilt: ((a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R) =⇒ ∃i, j ∈ I : {a, b} ⊆ Ai ∧ {b, c} ⊆ Aj =⇒Ai ∩Aj =∅=⇒Ai =Aj =⇒ {a, c} ⊆ Ai =⇒ (a, c) ∈ RZ .

Dazu zwei Definitionen • F¨ ur die Korrespondenz F ⊆ A × B sei F −1 := {(b, a) | (a, b) ∈ F } • die zu F inverse Korrespondenz (Umkehrkorrespondenz) aus B in A. Seien F ⊆ A × B und G ⊆ B × C. Dann heißt die Menge F ✷G := {(a, c) ∈ A × C | ∃b ∈ B : (a, b) ∈ F ∧ (b, c) ∈ G} Verkettung (Produkt, Hintereinanderausf¨ uhrung) von F und G. ) Seien F = {(0, 0), (0, 1), (2, 0), (2, 3)} und G = {(0, 2), (1, 1)}. Dann gilt F −1 = {(0, 0), (1, 0), (0, 2), (3, 2)} und F ✷G = {(0, 2), (0, 1), (2, 2)}. ) F¨ ur F = {(x, x2 ) | x ∈ R} und G = {(x, sin(x)) | x ∈ R} gilt F ✷G = {(x, sin(x2 )) | x ∈ R}.

N − 1] = {n − 1, n + n − 1, −n + n − 1, 2 · n + n − 1, −2 · n + n − 1, . }, [n] = [0], [n + 1] = [1], .. Die Faktormenge von Z nach ≡n ist damit {[0], [1], [2], . . , [n − 1]}, die wir u ¨ blicherweise kurz mit Zn bezeichnen wollen. 4 Korrespondenzen, Abbildungen und Verknu ¨pfungen Definition Es seien A und B nichtleere Mengen. F heißt Korrespondenz aus A in B:⇐⇒ F ⊆ A × B. ) Bin¨ are Relationen sind Korrespondenzen (A = B). B. F = {(0, a), (0, b), (1, b)} eine Korrespondenz aus A in B. Definitionen • • Sei F ⊆ A × B eine Korrespondenz.

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